Pembuktian Turunan Berantai

 pertama2 mungkin memang harus memahami terlebih dahulu apa yang dimaksud turunan berantai..

turunan berantai disebut berantai karena pada penyelesaian nya menggunakan konsep penurunan yang mengakibatkan penurunan pada variabel lain (efek domino).. hal ini karena memang turunan berantai merupakan aplikasi turunan pada fungsi komposit..atau fungsi yang didalamnya terdapat fungsi lagi..jadi ketika suatu fungsi diturunkan maka fungsi didalamnya juga harus diturunkan..

contoh soal turunan berantai

(3x-2)^2 

cara pertama

f(x) = (U)^2

g(x) =(U) = (3x-2)

f(g(x)) = df(x). dg(x)

= (2(U)). (3)

(3x-2)^2

= 2(3x-2). 3

= (6x -4).3

= 18x-12

cara kedua menggunakan turunan parsial, dimana kita membedakan x satu dengan x lain pada masing-masing fungsi u 

(3x-2)(3) + (3x-2)(3)

=( 9x -6 ) + ( 9x -6)

= 18x-12

mungkin contoh pada cara kedua adalah cara yang paling sederhana dalam menjelaskan pembuktian pada rumus turunan berantai..

sebenarnya konsep turunan berantai disini sama saja konsepnya seperti konsep dasar turunan, hanya saja variabel yang menjadi nilai input fungsi tidak hanya sebuah variabel melainkan suatu fungsi lagi, untuk mudahnya langsung saja pada fungsi yang nilai input nya lebih kompleks lagi

f(u) = u^2, dimana u = (x+2)^3

maka f(u) = f ( (x+2)^3 ) 

jika kita turunkan maka 

f(u)' = (df / du)(du)

maka kita mencari nilai turunan pada nilai input u atau fungsi u disini

du/ dx = turunan nilai input fungsi u terhadap satu variabel yaitu x

tapi karena nilai input fungsi terdapat 3 variabel yaitu x1, x2 dan x3

x^3 = 3 variabel = x1, x2 dan x3

dengan +2( pada nilai input x+2 ) adalah konstanta

maka disini kita menurunkan fungsi u sebanyak 3x 

du/ dx = (d/dx) u + (d/dx) u  +  (d/dx) u 

du = (d/dx) u (dx) 

+ (d/dx) u (dx)

+  (d/dx) u (dx) 

du = (1) (x+2)^2 + (1) (x+2)^2 + (1) (x+2)^2 

du = (1+1+1) ( x+2 )^2

du = 3(x+2)^2

*dimana 1 ini adalah turunan dari x^1 sehingga dx diganti menjadi 1

dx = 1 

*dan operator turunan (d/dx) diterapkan pada fungsi u maka fungi u diturunkan

fungsi u pada satu variabel = u = (x+2)

Lim u dengan h mendekati 0 = limit ( (x+h) - (x) )/ (h) = lim h/h = 1

*untuk (x+2)^2 adalah variabel yang tak diturunkan seperti

f(x.y.z)' = 1. y. z + x. 1. z + x. y. 1

= yz + x.z + x.y

dimana yz = xz = xy = (x+2)^2 dalam hal ini

sebagai finishing

karena f(u) = u^2, mengandung 2 variabel maka kita menurunkan nya sebanyak 2x

df(u)/ du = ( (d/ du) (f(u) ) + ( (d/du) f(u) )

df(u) = (df(u)/ du) (du) + (df(u)/ du) (du)

df(u) = ((1) (u)) (3((x+2)^2)) +((u)(1))((3((x+2)^2)) 

df(u) = (1+1)(u) (3((x+2)^2))

df(u) = 2u  (3((x+2)^2))

df(u) = 2((x+2)^3) (3((x+2)^2))

*du = (3((x+2)^2))

*(d/du)(f(u))= (1)u + u (1)

jika kita melihat polanya..maka turunan berantai ini seakan bisa menjadi pembuktian dari konsep dasar turunan..dimana kita melihat jelas bahwa turunan merupakan cara kita melihat perubahan pada sisi nilai inputnya..yaitu ketika nilai input fungsi berubah maka input dari nilai input pada fungsi tersebut juga berubah.. sederhana nya fungsi turunan biasa(bukan turunan berantai) nilai inputnya hanya satu variabel bukan merupakan suatu fungsi, jika dijabarkan

f(x) = x^2

karena input fungsi hanya x 

maka turunan inputnya bernilai satu

(d/ dx) ( x) = 1 

jadi 

(d/dx) (f(x)) = (d/dx) (f(x)) + (d/dx) (f(x))

df(x) = (d/dx) (f(x)) dx + (d/dx) (f(x)) dx

df(x) = x (1) dx + (1) x dx

df(x) = x (1) (1) + (1) x (1)

df(x) = ((1)(1) +(1)(1)) x

df(x) = (1+1) x = 2x